Skąd bierze się wektory stanu?

==============================================

Skąd bierzemy wektory stanu?:

Z rozwiązania równań. Jakich równań? Ano tych, które w sposób matematyczny opisują doświadczenia w których mierzymy dane wielkości fizyczne (np. położenie, pęd, energię całkowitą, energię potencjalną, etc.). Jeśli operacje pomiaru wielkości fizycznej A, w matematyce opisuje wielkość, którą oznaczymy symbolem A, wtedy wektory stanu spełniają równanie:

A |a> = a_n |a>,

gdzie a_n  oznaczają wartości mierzonej wielkości fizycznej, której pomiar reprezentuje A. Rozwiązując tego typu równania mechaniki kwantowej otrzymujemy  poszukiwane wektory stanu i wartości danej wielkości fizycznej. Np. interesuje nas pęd elektronu, wielkość opisująca pomiar pędu niech będzie oznaczona Px , aby znaleźć wektor stanu tego elektronu wystarczy rozwiązać równanie:,

Px |a> = p_x |a> ,

Przy okazji warto zapamiętać, że jeśli danemu wektorowi stanu odpowiada stała, nie zmieniająca się w czasie, energia układu, to stan taki nazywa się stanem stacjonarnym. Wydawało by się, że jak już mamy wektor stanu danego obiektu, a więc i pęd (np. z rozwiązania ostatniego równania) to teraz bez problemu można znaleźć wszystkie inne wielkości fizyczne charakteryzujące obiekt, wystarczy podziałać odpowiednią wielkością matematyczną reprezentującą operacje pomiaru tej wielkości, np. energii, H, położenia, X - na znany już wektor stanu:

H |a> = E_n |a>,

X |a> = x_n |a>

 

Okazuje to jednak błędne, bo najczęściej znaleziony wektor stanu nie spełnia tego typu równań, czyli:

 

H |a> ¹ E_n |a>,

X |a> ¹ x_n |a>

i jest to następstwem tego faktu, że warunki w doświadczeniu „męczącym” obiekt badań, w którym wyznacza się jedną wielkość (np. pęd) są zupełnie inne, niż warunki w doświadczeniu w którym wyznaczamy inne wielkości (np. położenie, energię, itd.). Tłumacząc prosto: im dokładniej wyznaczymy jedna wielkość charakteryzującą obiekt, tym mniej dokładnie wyznaczyć można inne wielkości charakteryzujące ten obiekt. Czyli, mając bezbłędnie wyznaczoną jedną wielkość, inne, zwykle, pozostaną nieznane. Tak jest, to zasada nieoznaczoności Heisenberga!. Patrząc na to w sposób klasyczny można powiedzieć, że ta mechanika kwantowa nie dostarcza pełnej informacji o właściwościach mikroświata, bo np. wiedząc jaki jest pęd elektronu, nie możemy wiedzieć jakie jest jego położenie, lub odwrotnie.

==============================================

Doświadczenie EPR:

Tak też mówili w 1935r Einstein, Rosen i Podolsky.:

„Mechanika kwantowa jest niezupełna, bo dostarcza niepełnej informacji o właściwościach obiektu. Teoria ta mówi, że np. nie można znać jednocześnie dokładnie pęd i położenie mikroobiektu, podczas gdy obie te wielkości można wyznaczyć doświadczalnie. W doświadczeniu, nazwanym eksperymentem EPR, w którym nie „męczy się” obiekt, lecz układ, złożony z dwóch takich samych obiektów, np. dwóch elektronów”.

Rysunek poniższy tłumaczy ideę eksperymentu EPR i pomiaru na parze obiektów:

 

 

 

W chwili początkowej mierzymy wypadkowy pęd, P, i względne położenie- tj. odległość, X, elektronów. Pozwalamy elektronom oddalać się przez np. 12 miesięcy, J, z zasady zachowania pędu wynika, że po tym czasie wypadkowy pęd się nie zmieni. No to teraz, gdy elektrony ze sobą praktycznie nie oddziaływają, wykonujemy pomiar odległości oraz, uwaga!: położenia pierwszego elektronu x₁– można to zrobić bezbłędnie, oraz pędu drugiego elektronu p_x2 - też – można to zrobić bezbłędnie. W ten sposób z zasady zachowania pędu ustalimy p_x1, a więc łącznie z tym co zmierzyliśmy dla pierwszego elektronu mamy dokładne wartości x₁ oraz p_x1. Podobnie można wyznaczyć bezbłędne wartości pędu i położenia drugiego  elektronu. Tak wiec EPR, mówią: „ Można zmierzyć dokładnie dwie wielkości, tylko pomiar trza prowadzić na parze, a nie na jednej z cząstek”. Mechanika kwantowa na to nie pozwala? No to znaczy jest ona niepoprawna!

I z takimi zastrzeżeniami nie zgodzili się twórcy mechaniki kwantowej. Zastrzeżenia EPR odrzucali w następujący sposób: Układ złożony z dwóch lub więcej takich samych cząstek, o ściśle określonej wartości jakiejś wielkości wypadkowej tego układu (pęd, moment pędu, spin, etc) to nie to samo co dwie, czy więcej- oddzielne cząstki, które opisuje zwykły iloczyn wektorów stanu poszczególnych cząstek, np. dla dwóch elektronów byłby to:

| x₁(1)> |x₂(2)>,

lecz, niezależnie od odległości między cząstkami, jest to układ splątanych, nierozróżnialnych przecież, cząstek, a więc położenie x₁ może mieć zarówno 1 jak i 2 cząstka, podobnie położenie x₂. Dla takiej pary splątanych elektronów wektor stanu ma postać:

| x₁(1)> |x₂(2)> - | x₁(2)> |x₂(1)>,

Pomiar położenia x₁ na takim wektorze stanu splątanych elektronów, automatycznie, natychmiast (niezależnie od odległości) zmieni wartość pędu drugiego elektronu p_x2 , a więc to co mierzymy na drugim elektronie to nie jest jego „prawdziwy” pęd, tylko pęd po retuszu spowodowanym pomiarem na pierwszym elektronie. Oddziaływanie między splątanymi cząstkami, powodujące, że jedna cząstka nie zależnie od odległości czuje obecność drugiej (i natychmiast reaguje na tą obecność, prędkość światła nie ma tu nic do gadania!) nazywa się oddziaływaniem nielokalnym. Tak więc w wyniku oddziaływania nielokalnego upadła sprawa „obalania” mechaniki kwantowej za sprawą eksperymentu EPR. Jednak to nie koniec kariery doświadczenia Einsteina, Rosena i Podolskyego, bo pomiar na parze cząstek został wykorzystany do tzw. kwantowej teleportacji cząstek.